Wärmekapazität

Die Wärmekapazität $C$ ist bei konstantem Druck über die Wärmemenge $Q$ und die Temperatur $T$, bzw. $\theta$ definiert:

$C={\frac {dQ}{dT}}={\frac {dQ}{d\theta }}$

Integriert ergibt sich:

$\Delta Q=\int _{T_{1}}^{T_{2}}{C\ dT}=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{C\ d\theta }$

Zusammenhang mit spezifischer Wärmekapazität $C_{m}$ und molarer Wärmekapazität $C_{n}$ (bei homogenen Körpern bzw. Medien):

$C=m\cdot C_{m}=n\cdot C_{n}$

Mit $M={\frac {m}{n}}$ folgt:

$C_{m}={\frac {C_{n}}{M}}$

Mit der spezifischen Wärmekapazität folgt für die Wärmemenge $\Delta Q$:

$\Delta Q=m\int _{T_{1}}^{T_{2}}{C_{m}\ dT}=m\cdot \int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{C_{m}\ d\theta }$

Spezifische Wärmekapazität ist konstant

Bei konstanter Wärmekapazität folgt für die Wärmemenge $\Delta Q$:

$\Delta Q=m\cdot C_{m}\cdot \left(T_{2}-T_{1}\right)=m\cdot C_{m}\cdot \left(\theta _{2}-\theta _{1}\right)$

$\Delta Q=m\cdot C_{m}\cdot \Delta T=m\cdot C_{m}\cdot \Delta \theta$

Spezifische Wärmekapazität ist nicht konstant

Über einen größeren Termperaturbereich folgt die molare Wärmekapazität folgendem Polynom:

$C_{n}=a_{0}+a_{1}\cdot \theta +a_{2}\cdot \theta ^{2}+a_{3}\cdot \theta ^{3}+a_{4}\cdot \theta ^{4}+a_{5}\cdot \theta ^{5}$

Das Integral ist dann:

$\int {C_{n}\ d\theta }=a_{0}\cdot \theta +{\frac {a_{1}}{2}}\cdot \theta ^{2}+{\frac {a_{2}}{3}}\cdot \theta ^{3}+{\frac {a_{3}}{4}}\cdot \theta ^{4}+{\frac {a_{4}}{5}}\cdot \theta ^{5}+{\frac {a_{5}}{6}}\cdot \theta ^{6}+K$

Für die Wärmemenge $\Delta Q$ folgt mit $C_{m}={\frac {C_{n}}{M}}$:

$\Delta Q={\frac {m}{M}}\cdot \int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{C_{n}\ d\theta }={\frac {m}{M}}\cdot \left[a_{0}\cdot \theta +{\frac {a_{1}}{2}}\cdot \theta ^{2}+{\frac {a_{2}}{3}}\cdot \theta ^{3}+{\frac {a_{3}}{4}}\cdot \theta ^{4}+{\frac {a_{4}}{5}}\cdot \theta ^{5}+{\frac {a_{5}}{6}}\cdot \theta ^{6}+K\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}$

Das ergibt:

$\Delta Q={\frac {m}{M}}\cdot \left(a_{0}\cdot \left(\theta _{2}-\theta _{1}\right)+{\frac {a_{1}}{2}}\cdot \left(\theta _{2}^{2}-\theta _{1}^{2}\right)+{\frac {a_{2}}{3}}\cdot \left(\theta _{2}^{3}-\theta _{1}^{3}\right)+{\frac {a_{3}}{4}}\cdot \left(\theta _{2}^{4}-\theta _{1}^{4}\right)+{\frac {a_{4}}{5}}\cdot \left(\theta _{2}^{5}-\theta _{1}^{5}\right)+{\frac {a_{5}}{6}}\cdot \left(\theta _{2}^{6}-\theta _{1}^{6}\right)\right)$

Für Wasser gelten folgende Parameter:

$a_{0}=75,9992\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} }}$
$a_{1}=-6,29223\cdot 10^{-2}\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} ^{2}}}$
$a_{2}=2,09350\cdot 10^{-3}\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} ^{3}}}$
$a_{3}=-3,35357\cdot 10^{-5}\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} ^{4}}}$
$a_{4}=2,73529\cdot 10^{-7}\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} ^{5}}}$
$a_{5}=-8,49019\cdot 10^{-10}\ {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol} \cdot \mathrm {K} ^{6}}}$