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| 2.1) <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> | | 2.1) <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
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| Die Differenz aus 1.1) und 2,1) ist: | | Die Differenz aus 1.1) und 2.1) ist: |
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| <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_1 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_1 \cdot n_3 - u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> | | <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_1 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_1 \cdot n_3 - u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}} \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}</math> | | <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}} \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}</math> |
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1 \right) \cdot \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math> | | <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1 \right) \cdot \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math> VORSICHT! Hier geht die Vorzeicheninformation verloren! |
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math> | | <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math> |
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| | | |
| <math>n_3 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math> | | <math>n_3 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math> |
| | |
| | <math>|\vec{n}| = K</math> |
| | |
| | ==== Zusatzrechnung: ==== |
| | |
| | Gleichung 1) multipliziert mit <math>v_3</math>: |
| | |
| | 1.2) <math>u_1 \cdot v_3 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_3 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | Gleichung 2) multipliziert mit <math>u_3</math>: |
| | |
| | 2.2) <math>u_3 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_3 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist: |
| | |
| | <math>u_1 \cdot v_3 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_3 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 - u_3 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_3 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | <math>\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) \cdot n_1 + \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right) \cdot n_2 = 0</math> |
| | |
| | <math>n_2 = n_1 \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math> |
| | |
| | Gleichung 1) multipliziert mit <math>v_2</math>: |
| | |
| | 1.3) <math>u_1 \cdot v_2 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_2 \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | Gleichung 2) multipliziert mit <math>u_2</math>: |
| | |
| | 2.3) <math>u_2 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_2 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist: |
| | |
| | <math>u_1 \cdot v_2 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_2 \cdot n_3 - u_2 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_2 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | <math>\left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right) \cdot n_1 + \left( u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3 \right) \cdot n_3 = 0</math> |
| | |
| | <math>n_3 = n_1 \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}</math> |
| | |
| | Zusammenfassung 2: |
| | |
| | <math>n_1 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math> |
| | |
| | <math>n_2 = n_1 \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math> |
| | |
| | <math>n_3 = n_1 \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}</math> |
| | | |
| <math>|\vec{n}| = K</math> | | <math>|\vec{n}| = K</math> |
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| |
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| __NOTOC__ | | __NOTOC__ |
Bestimmung eines Normalvektors , der senkrecht zu den Spannvektoren und ist
Es gelten die folgenden Bedingungen:
1)
2)
Fall 1:
aus 1) folgt:
3)
in 2):
daraus folgt:
in 3):
Zusammengefasst:
Fall 2:
aus 1) folgt:
3)
in 2):
daraus folgt:
in 3):
Zusammengefasst:
Fall 3:
aus 1) folgt:
3)
in 2):
daraus folgt:
in 3):
Zusammengefasst:
Fall 4:
3)
Gleichung 1) multipliziert mit :
1.1)
Gleichung 2) multipliziert mit :
2.1)
Die Differenz aus 1.1) und 2.1) ist:
4)
Gleichung 3) umgestellt:
5)
Gleichung 1) umgestellt und quadriert:
Einsetzen von :
Einsetzen von
in 4):
VORSICHT! Hier geht die Vorzeicheninformation verloren!
und in 5):
Zusammenfassung:
Zusatzrechnung:
Gleichung 1) multipliziert mit :
1.2)
Gleichung 2) multipliziert mit :
2.2)
Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist:
Gleichung 1) multipliziert mit :
1.3)
Gleichung 2) multipliziert mit :
2.3)
Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist:
Zusammenfassung 2: