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| ==Bestimmung eines Normalvektors <math>\vec{n}</math>, der senkrecht zu den Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> ist==
| | Quelle: Robin |
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| Es gelten die folgenden Bedingungen:
| | == Zutaten == |
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| <math>\vec{u} \cdot \vec{n} = 0</math>
| | * 1 kg Mehl |
| | * 1,5 Würfel Hefe |
| | * ca. 0,5 L Wasser |
| | * 2 EL Salz |
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| 1) <math>u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0</math>
| | == Zubereitung == |
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| <math>\vec{v} \cdot \vec{n} = 0</math>
| | * Mehl in Schüssel geben |
| | * Hefe in Mulde bröseln |
| | * Hefe mit 0,3 L Wasser leicht vermischen |
| | * 20 min gehen lassen |
| | * Salz dazugeben |
| | * Kneten (noch etwas Wasser dazugeben – ca. 0,2 L) |
| | * 2 Stunden gehen lassen |
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| 2) <math>v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
| | Backzeit 20 – 30 min (225 °C) |
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| === Fall 1: <math>n_1 = K</math> === | | == Variation == |
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| aus 1) folgt:
| | Vor dem Kneten des Teigs nicht 0,2 L Wasser, sondern 0,15 L Wasser und 0,05 L (50 mL) Olivenöl hinzugeben. |
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| 3) <math>n_2 = - \frac{u_1 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_2}</math>
| | [[Kategorie:Rezepte]] |
| | | [[Kategorie:Hauptgerichte]] |
| <math>n_2</math> in 2):
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| <math>v_1 \cdot K - v_2 \cdot \frac{ u_1 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_2} + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
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| daraus folgt:
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| <math>K \cdot \left( v_1 - v_2 \cdot \frac{u_1}{u_2} \right) + n_3 \cdot \left( v_3 - v_2 \cdot \frac{u_3}{u_2} \right) = 0</math>
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| <math>n_3 = - K \cdot \frac{v_1 - v_2 \cdot \frac{u_1}{u_2}}{v_3 - v_2 \cdot \frac{u_3}{u_2}} = K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| <math>n_3</math> in 3):
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| <math>n_2 = - \frac{u_1}{u_2} \cdot K - \frac{u_3}{u_2} \cdot K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{- \frac{u_1}{u_2} \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right) - \frac{u_3}{u_2} \cdot \left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right)}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{ - u_1 \cdot v_3 + \frac{u_1}{u_2} \cdot u_3 \cdot v_2 - \frac{u_3}{u_2} \cdot u_1 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| Zusammengefasst:
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| <math>n_1 = K</math>
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| <math>n_2 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| <math>n_3 = K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| === Fall 2: <math>n_2 = K</math> ===
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| aus 1) folgt:
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| 3) <math>n_1 = - \frac{u_2 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_1}</math>
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| <math>n_1</math> in 2):
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| <math>- v_1 \cdot \frac{u_2 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_1} + v_2 \cdot K + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
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| daraus folgt:
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| <math>K \cdot \left( v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1} \right) + n_3 \cdot \left( v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1} \right) = 0</math>
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| <math>n_3 = - K \cdot \frac{v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1}}{v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1}} = K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_3</math> in 3):
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| <math>n_1 = - \frac{u_2}{u_1} \cdot K - \frac{u_3}{u_1} \cdot K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{- \frac{u_2}{u_1} \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) - \frac{u_3}{u_1} \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{- u_2 \cdot v_3 + \frac{u_2}{u_1} \cdot u_3 \cdot v_1 - \frac{u_3}{u_1} \cdot u_2 \cdot v_1 + u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| Zusammengefasst:
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| <math>n_1 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_2 = K</math>
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| <math>n_3 = K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| === Fall 3: <math>n_3 = K</math> ===
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| aus 1) folgt:
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| 3) <math>n_1 = - \frac{u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot K}{u_1}</math>
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| <math>n_1</math> in 2):
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| <math>- v_1 \cdot \frac{u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot K}{u_1} + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot K = 0</math>
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| daraus folgt:
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| <math>K \cdot \left( v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1} \right) + n_2 \cdot \left( v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1} \right) = 0</math>
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| <math>n_2 = - K \cdot \frac{v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1}}{v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1}} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_2</math> in 3):
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| <math>n_1 = - \frac{u_2}{u_1} \cdot K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} - \frac{u_3}{u_1} \cdot K = K \cdot\frac{ - \frac{u_2}{u_1} \cdot \left( u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \right) - \frac{u_3}{u_1} \cdot \left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right)}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} = K \cdot\frac{- \frac{u_2}{u_1} \cdot u_3 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 + \frac{u_3}{u_1} \cdot u_2 \cdot v_1}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} = K \cdot\frac{ u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| Zusammengefasst:
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| <math>n_1 = K \cdot\frac{ u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_2 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_3 = K</math>
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| === Fall 4: <math>|\vec{n}| = K</math> ===
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| 3) <math>|\vec{n}|^2 = K^2 = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2</math>
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| Gleichung 1) multipliziert mit <math>v_1</math>:
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| 1.1) <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_1 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_1 \cdot n_3 = 0</math>
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| Gleichung 2) multipliziert mit <math>u_1</math>:
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| 2.1) <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
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| Die Differenz aus 1.1) und 2,1) ist:
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| <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_1 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_1 \cdot n_3 - u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
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| <math>\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right) \cdot n_2 + \left( u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \right) \cdot n_3 = 0</math>
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| 4) <math>n_2 = n_3 \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}</math>
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| Gleichung 3) umgestellt:
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| 5) <math>n_1^2 = K^2 - n_2^2 - n_3^2</math>
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| Gleichung 1) umgestellt und quadriert:
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| <math>\left( u_1 \cdot n_1 \right)^2 = \left( u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 \right)^2</math>
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| Einsetzen von <math>n_1^2</math>:
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| <math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - n_2^2 - n_3^2 \right) = \left( u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 \right)^2</math>
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| Einsetzen von <math>n_2</math>
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| <math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left(n_3 \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}\right)^2 - n_3^2 \right) = \left( u_2 \cdot n_3 \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2} + u_3 \cdot n_3 \right)^2</math>
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| <math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 \right) = \frac{\left( u_2 \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) + u_3 \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right) \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
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| <math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 \right) = \frac{\left( u_2 \cdot u_1 \cdot v_3 - u_2 \cdot u_3 \cdot v_1 + u_3 \cdot u_2 \cdot v_1 - u_3 \cdot u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
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| <math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 \right) = \frac{u_1^2 \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
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| <math>K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 = \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
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| <math>K^2 = \left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 = \left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2</math>
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| <math>n_3 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
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| <math>n_3</math> in 4):
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}} \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}</math>
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1 \right) \cdot \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math>
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math>
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + 1 }}</math>
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| <math>n_2</math> und <math>n_3</math> in 5):
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| <math>n_1^2 = K^2 - \frac{K^2}{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + 1 } - \frac{K^2}{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}</math>
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| <math>n_1^2 = \frac{K^2 \cdot \left( \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2 \right)}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} - \frac{K^2 \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} - \frac{K^2 \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}</math>
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| <math>n_1^2 = \frac{K^2 \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}</math>
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| | |
| <math>n_1^2 = \frac{K^2}{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}</math>
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| <math>n_1 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
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| Zusammenfassung:
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| <math>n_1 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
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| <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + 1 }}</math>
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| <math>n_3 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
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| <math>|\vec{n}| = K</math>
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