Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 11. Mai 2023, 16:21 Uhr

Bestimmung eines Normalvektors ${\vec {n}}$ , der senkrecht zu den Spannvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ ist

Es gelten die folgenden Bedingungen:

${\vec {u}}\cdot {\vec {n}}=0$

1) $u_{1}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot n_{3}=0$

${\vec {v}}\cdot {\vec {n}}=0$

2) $v_{1}\cdot n_{1}+v_{2}\cdot n_{2}+v_{3}\cdot n_{3}=0$

Fall 1: $n_{1}=K$

aus 1) folgt:

3) $n_{2}=-{\frac {u_{1}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{2}}}$

$n_{2}$ in 2):

$v_{1}\cdot K-v_{2}\cdot {\frac {u_{1}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{2}}}+v_{3}\cdot n_{3}=0$

daraus folgt:

$K\cdot \left(v_{1}-v_{2}\cdot {\frac {u_{1}}{u_{2}}}\right)+n_{3}\cdot \left(v_{3}-v_{2}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{2}}}\right)=0$

$n_{3}=-K\cdot {\frac {v_{1}-v_{2}\cdot {\frac {u_{1}}{u_{2}}}}{v_{3}-v_{2}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{2}}}}}=K\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

$n_{3}$ in 3):

$n_{2}=-{\frac {u_{1}}{u_{2}}}\cdot K-{\frac {u_{3}}{u_{2}}}\cdot K\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{1}}{u_{2}}}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)-{\frac {u_{3}}{u_{2}}}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\right)}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}=K\cdot {\frac {-u_{1}\cdot v_{3}+{\frac {u_{1}}{u_{2}}}\cdot u_{3}\cdot v_{2}-{\frac {u_{3}}{u_{2}}}\cdot u_{1}\cdot v_{2}+u_{3}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

Zusammengefasst:

 $n_{1}=K$ 

 $n_{2}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$ 

 $n_{3}=K\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

Fall 2: $n_{2}=K$

aus 1) folgt:

3) $n_{1}=-{\frac {u_{2}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{1}}}$

$n_{1}$ in 2):

$-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{1}}}+v_{2}\cdot K+v_{3}\cdot n_{3}=0$

daraus folgt:

$K\cdot \left(v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)+n_{3}\cdot \left(v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}\right)=0$

$n_{3}=-K\cdot {\frac {v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}{v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}}}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$

$n_{3}$ in 3):

$n_{1}=-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot K-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {-u_{2}\cdot v_{3}+{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot u_{3}\cdot v_{1}-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot u_{2}\cdot v_{1}+u_{3}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$

Zusammengefasst:

 $n_{1}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$ 

 $n_{2}=K$ 

 $n_{3}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$

Fall 3: $n_{3}=K$

aus 1) folgt:

3) $n_{1}=-{\frac {u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot K}{u_{1}}}$

$n_{1}$ in 2):

$-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot K}{u_{1}}}+v_{2}\cdot n_{2}+v_{3}\cdot K=0$

daraus folgt:

$K\cdot \left(v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}\right)+n_{2}\cdot \left(v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)=0$

$n_{2}=-K\cdot {\frac {v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}}{v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$

$n_{2}$ in 3):

$n_{1}=-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot K=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}\right)-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\right)}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot u_{3}\cdot v_{1}+u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}+{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot u_{2}\cdot v_{1}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$

Zusammengefasst:

 $n_{1}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$ 

 $n_{2}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$ 

 $n_{3}=K$

Fall 4: $|{\vec {n}}|=K$

3) $|{\vec {n}}|^{2}=K^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}$

Gleichung 1) multipliziert mit $v_{1}$ :

1.1) $u_{1}\cdot v_{1}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{1}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{1}\cdot n_{3}=0$

Gleichung 2) multipliziert mit $u_{1}$ :

2.1) $u_{1}\cdot v_{1}\cdot n_{1}+u_{1}\cdot v_{2}\cdot n_{2}+u_{1}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

Die Differenz aus 1.1) und 2.1) ist:

$u_{1}\cdot v_{1}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{1}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{1}\cdot n_{3}-u_{1}\cdot v_{1}\cdot n_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\cdot n_{2}-u_{1}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

$\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)\cdot n_{2}+\left(u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}\right)\cdot n_{3}=0$

4) $n_{2}=n_{3}\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}}$

Gleichung 3) umgestellt:

5) $n_{1}^{2}=K^{2}-n_{2}^{2}-n_{3}^{2}$

Gleichung 1) umgestellt und quadriert:

$\left(u_{1}\cdot n_{1}\right)^{2}=\left(u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot n_{3}\right)^{2}$

Einsetzen von $n_{1}^{2}$ :

$u_{1}^{2}\cdot \left(K^{2}-n_{2}^{2}-n_{3}^{2}\right)=\left(u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot n_{3}\right)^{2}$

Einsetzen von $n_{2}$

$u_{1}^{2}\cdot \left(K^{2}-\left(n_{3}\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}}\right)^{2}-n_{3}^{2}\right)=\left(u_{2}\cdot n_{3}\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}}+u_{3}\cdot n_{3}\right)^{2}$

$u_{1}^{2}\cdot \left(K^{2}-\left({\frac {\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot n_{3}^{2}\right)={\frac {\left(u_{2}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)+u_{3}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}\cdot n_{3}^{2}$

$u_{1}^{2}\cdot \left(K^{2}-\left({\frac {\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot n_{3}^{2}\right)={\frac {\left(u_{2}\cdot u_{1}\cdot v_{3}-u_{2}\cdot u_{3}\cdot v_{1}+u_{3}\cdot u_{2}\cdot v_{1}-u_{3}\cdot u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}\cdot n_{3}^{2}$

$u_{1}^{2}\cdot \left(K^{2}-\left({\frac {\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot n_{3}^{2}\right)={\frac {u_{1}^{2}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}\cdot n_{3}^{2}$

$K^{2}-\left({\frac {\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot n_{3}^{2}={\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}\cdot n_{3}^{2}$

$K^{2}=\left({\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+{\frac {\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot n_{3}^{2}=\left({\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot n_{3}^{2}$

$n_{3}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}}$

$n_{3}$ in 4):

$n_{2}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}}\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}}$

$n_{2}=\pm {\frac {K}{\sqrt {\left({\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1\right)\cdot {\frac {\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}}}}$ VORSICHT! Hier geht die Vorzeicheninformation verloren!

$n_{2}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}+{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}}}}$

$n_{2}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}+1}}}$

$n_{2}$ und $n_{3}$ in 5):

$n_{1}^{2}=K^{2}-{\frac {K^{2}}{{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}+1}}-{\frac {K^{2}}{{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}$

$n_{1}^{2}={\frac {K^{2}\cdot \left(\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}\right)}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}-{\frac {K^{2}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}-{\frac {K^{2}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}$

$n_{1}^{2}={\frac {K^{2}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}$

$n_{1}^{2}={\frac {K^{2}}{{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}$

$n_{1}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}}$

Zusammenfassung:

 $n_{1}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}}$ 

 $n_{2}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}{\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}}+1}}}$ 

 $n_{3}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}}$ 

 $|{\vec {n}}|=K$

Zusatzrechnung:

Gleichung 1) multipliziert mit $v_{3}$ :

1.2) $u_{1}\cdot v_{3}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{3}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

Gleichung 2) multipliziert mit $u_{3}$ :

2.2) $u_{3}\cdot v_{1}\cdot n_{1}+u_{3}\cdot v_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist:

$u_{1}\cdot v_{3}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{3}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{3}\cdot n_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\cdot n_{1}-u_{3}\cdot v_{2}\cdot n_{2}-u_{3}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

$\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)\cdot n_{1}+\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)\cdot n_{2}=0$

$n_{2}=n_{1}\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

Gleichung 1) multipliziert mit $v_{2}$ :

1.3) $u_{1}\cdot v_{2}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{2}\cdot n_{3}=0$

Gleichung 2) multipliziert mit $u_{2}$ :

2.3) $u_{2}\cdot v_{1}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{2}\cdot n_{2}+u_{2}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist:

$u_{1}\cdot v_{2}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot v_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot v_{2}\cdot n_{3}-u_{2}\cdot v_{1}\cdot n_{1}-u_{2}\cdot v_{2}\cdot n_{2}-u_{2}\cdot v_{3}\cdot n_{3}=0$

$\left(u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\right)\cdot n_{1}+\left(u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}\right)\cdot n_{3}=0$

$n_{3}=n_{1}\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}}}$

Zusammenfassung 2:

 $n_{1}=\pm {\frac {K}{\sqrt {{\frac {\left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)^{2}+\left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)^{2}}{\left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)^{2}}}+1}}}$ 

 $n_{2}=n_{1}\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$ 

 $n_{3}=n_{1}\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}}}$ 

 $|{\vec {n}}|=K$

@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 ) <math>|\vec{n}|^2 = K^2 = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2</math>
+Gleichung 1) multipliziert mit <math>v_1</math>:
+.1) <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_1 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_1 \cdot n_3 = 0</math>
+Gleichung 2) multipliziert mit <math>u_1</math>:
+.1) <math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+Die Differenz aus 1.1) und 2.1) ist:
+<math>u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_1 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_1 \cdot n_3 - u_1 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_1 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_1 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+<math>\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right) \cdot n_2 + \left( u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \right) \cdot n_3 = 0</math>
+) <math>n_2 = n_3 \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}</math>
+Gleichung 3) umgestellt:
+) <math>n_1^2 = K^2 - n_2^2 - n_3^2</math>
+Gleichung 1) umgestellt und quadriert:
+<math>\left( u_1 \cdot n_1 \right)^2 = \left( u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 \right)^2</math>
+Einsetzen von <math>n_1^2</math>:
+<math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - n_2^2 - n_3^2 \right) = \left( u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 \right)^2</math>
+Einsetzen von <math>n_2</math>
+<math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left(n_3 \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}\right)^2 - n_3^2 \right) = \left( u_2 \cdot n_3 \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2} + u_3 \cdot n_3 \right)^2</math>
+<math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 \right) = \frac{\left( u_2 \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) + u_3 \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right) \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
+<math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 \right) = \frac{\left( u_2 \cdot u_1 \cdot v_3 - u_2 \cdot u_3 \cdot v_1 + u_3 \cdot u_2 \cdot v_1 - u_3 \cdot u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
+<math>u_1^2 \cdot \left( K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 \right) = \frac{u_1^2 \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
+<math>K^2 - \left( \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 = \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} \cdot n_3^2</math>
+<math>K^2 = \left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + \frac{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left(u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2\right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2 = \left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1 \right) \cdot n_3^2</math>
+<math>n_3 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
+<math>n_3</math> in 4):
+<math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}} \cdot \frac{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}</math>
+<math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\left( \frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1 \right) \cdot \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math>  VORSICHT! Hier geht die Vorzeicheninformation verloren!
+<math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + \frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}}}</math>
+<math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + 1 }}</math>
+<math>n_2</math> und <math>n_3</math> in 5):
+<math>n_1^2 = K^2 - \frac{K^2}{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + 1 } - \frac{K^2}{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}</math>
+<math>n_1^2 = \frac{K^2 \cdot \left( \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2 \right)}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} - \frac{K^2 \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} - \frac{K^2 \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}</math>
+<math>n_1^2 = \frac{K^2 \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}</math>
+<math>n_1^2 = \frac{K^2}{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}</math>
+<math>n_1 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
+Zusammenfassung:
+ <math>n_1 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
+ <math>n_2 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2}{\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2} + 1 }}</math>
+ <math>n_3 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
+ <math>|\vec{n}| = K</math>
+==== Zusatzrechnung: ====
+Gleichung 1) multipliziert mit <math>v_3</math>:
+.2) <math>u_1 \cdot v_3 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_3 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+Gleichung 2) multipliziert mit <math>u_3</math>:
+.2) <math>u_3 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_3 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist:
+<math>u_1 \cdot v_3 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_3 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 - u_3 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_3 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_3 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+<math>\left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) \cdot n_1 + \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right) \cdot n_2 = 0</math>
+<math>n_2 = n_1 \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
+Gleichung 1) multipliziert mit <math>v_2</math>:
+.3) <math>u_1 \cdot v_2 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_2 \cdot n_3 = 0</math>
+Gleichung 2) multipliziert mit <math>u_2</math>:
+.3) <math>u_2 \cdot v_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_2 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+Die Differenz aus 1.3) und 2.3) ist:
+<math>u_1 \cdot v_2 \cdot n_1 + u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot v_2 \cdot n_3 - u_2 \cdot v_1 \cdot n_1 - u_2 \cdot v_2 \cdot n_2 - u_2 \cdot v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+<math>\left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right) \cdot n_1 + \left( u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3 \right) \cdot n_3 = 0</math>
+<math>n_3 = n_1 \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}</math>
+Zusammenfassung 2:
+ <math>n_1 = \pm \frac{K}{\sqrt{\frac{\left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)^2 + \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right)^2}{\left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right)^2} + 1}}</math>
+ <math>n_2 = n_1 \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
+ <math>n_3 = n_1 \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}</math>
+ <math>|\vec{n}| = K</math>
 __NOTOC__

Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 11. Mai 2023, 16:21 Uhr

Bestimmung eines Normalvektors n → {\displaystyle {\vec {n}}} , der senkrecht zu den Spannvektoren u → {\displaystyle {\vec {u}}} und v → {\displaystyle {\vec {v}}} ist

Fall 1: n 1 = K {\displaystyle n_{1}=K}

Fall 2: n 2 = K {\displaystyle n_{2}=K}

Fall 3: n 3 = K {\displaystyle n_{3}=K}

Fall 4: | n → | = K {\displaystyle |{\vec {n}}|=K}

Zusatzrechnung:

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Bestimmung eines Normalvektors ${\vec {n}}$ , der senkrecht zu den Spannvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ ist

Fall 1: $n_{1}=K$

Fall 2: $n_{2}=K$

Fall 3: $n_{3}=K$

Fall 4: $|{\vec {n}}|=K$