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| ==Bestimmung eines Normalvektors <math>\vec{n}</math>, der senkrecht zu den Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> ist==
| | Quelle: Internet |
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| Es gelten die folgenden Bedingungen:
| | == Zutaten == |
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| <math>\vec{u} \cdot \vec{n} = 0</math>
| | * 300 g Honig |
| | * 150 g Zucker |
| | * 50 g Butter oder Margarine |
| | * 500 g Mehl |
| | * 3 TL Backpulver |
| | * 1 Päckchen Lebkuchengewürz |
| | * 1 Ei |
| | * 1 Fläschchen Rumaroma |
| | * 1/8 L Kaffee |
| | * 4-6 Tropfen Bittermandelaroma |
| | * etwas Salz |
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| 1) <math>u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0</math> | | Für den Mörtel: |
| | * 1 Eiweiß |
| | * 120 bis 130 g Puderzucker |
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| <math>\vec{v} \cdot \vec{n} = 0</math>
| | == Zubereitung == |
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| 2) <math>v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
| | * Honig, Fett, Zucker und Salz zusammen mit dem Kaffee erwärmen und darin lösen (danach wieder erkalten lassen). |
| | * Mehl und Backpulver vermischt in eine Schüssel geben und eine Vertiefung in der Mitte bilden. |
| | * In die Vertiefung das Ei und die Gewürze geben. |
| | * Mit der kalten Kaffee-Honig-Masse die Zutaten von der Mitte her verrühren. |
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| === Fall 1: <math>n_1 = K</math> ===
| | Mörtel: |
| | * Das Eiweiß etwas vorschlagen. |
| | * Puderzucker dazu und solang schlagen bis die Masse steif ist. |
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| aus 1) folgt:
| | == Backen == |
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| 3) <math>n_2 = - \frac{u_1 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_2}</math>
| | Den Teig ca. 1 cm Dick auf ein eingefettetes Backblech streichen und 20 min bei 180 °C backen. |
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| <math>n_2</math> in 2):
| | [[Kategorie:Rezepte]] |
| | | [[Kategorie:Kuchen&Gebäck]] |
| <math>v_1 \cdot K - v_2 \cdot \frac{ u_1 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_2} + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
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| daraus folgt:
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| <math>K \cdot \left( v_1 - v_2 \cdot \frac{u_1}{u_2} \right) + n_3 \cdot \left( v_3 - v_2 \cdot \frac{u_3}{u_2} \right) = 0</math>
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| <math>n_3 = - K \cdot \frac{v_1 - v_2 \cdot \frac{u_1}{u_2}}{v_3 - v_2 \cdot \frac{u_3}{u_2}} = K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| <math>n_3</math> in 3):
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| <math>n_2 = - \frac{u_1}{u_2} \cdot K - \frac{u_3}{u_2} \cdot K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{- \frac{u_1}{u_2} \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right) - \frac{u_3}{u_2} \cdot \left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right)}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{ - u_1 \cdot v_3 + \frac{u_1}{u_2} \cdot u_3 \cdot v_2 - \frac{u_3}{u_2} \cdot u_1 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| Zusammengefasst:
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| <math>n_1 = K</math>
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| <math>n_2 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| <math>n_3 = K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
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| === Fall 2: <math>n_2 = K</math> ===
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| aus 1) folgt:
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| 3) <math>n_1 = - \frac{u_2 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_1}</math>
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| <math>n_1</math> in 2):
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| <math>- v_1 \cdot \frac{u_2 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_1} + v_2 \cdot K + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
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| daraus folgt:
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| <math>K \cdot \left( v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1} \right) + n_3 \cdot \left( v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1} \right) = 0</math>
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| <math>n_3 = - K \cdot \frac{v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1}}{v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1}} = K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_3</math> in 3):
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| <math>n_1 = - \frac{u_2}{u_1} \cdot K - \frac{u_3}{u_1} \cdot K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{- \frac{u_2}{u_1} \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) - \frac{u_3}{u_1} \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{- u_2 \cdot v_3 + \frac{u_2}{u_1} \cdot u_3 \cdot v_1 - \frac{u_3}{u_1} \cdot u_2 \cdot v_1 + u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| Zusammengefasst:
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| <math>n_1 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_2 = K</math>
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| <math>n_3 = K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
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| === Fall 3: <math>n_3 = K</math> ===
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| aus 1) folgt:
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| 3) <math>n_1 = - \frac{u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot K}{u_1}</math>
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| <math>n_1</math> in 2):
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| <math>- v_1 \cdot \frac{u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot K}{u_1} + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot K = 0</math>
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| daraus folgt:
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| <math>K \cdot \left( v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1} \right) + n_2 \cdot \left( v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1} \right) = 0</math>
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| <math>n_2 = - K \cdot \frac{v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1}}{v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1}} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_2</math> in 3):
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| <math>n_1 = - \frac{u_2}{u_1} \cdot K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} - \frac{u_3}{u_1} \cdot K = K \cdot\frac{ - \frac{u_2}{u_1} \cdot \left( u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \right) - \frac{u_3}{u_1} \cdot \left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right)}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} = K \cdot\frac{- \frac{u_2}{u_1} \cdot u_3 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 + \frac{u_3}{u_1} \cdot u_2 \cdot v_1}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} = K \cdot\frac{ u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| Zusammengefasst:
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| <math>n_1 = K \cdot\frac{ u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_2 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
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| <math>n_3 = K</math>
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| === Fall 4: <math>|\vec{n}| = K</math> ===
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| 3) <math>|\vec{n}|^2 = K^2 = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2</math>
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