Hauptseite und Vektorrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 11. Mai 2023, 12:39 Uhr

Bestimmung eines Normalvektors ${\vec {n}}$ , der senkrecht zu den Spannvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ ist

Es gelten die folgenden Bedingungen:

${\vec {u}}\cdot {\vec {n}}=0$

1) $u_{1}\cdot n_{1}+u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot n_{3}=0$

${\vec {v}}\cdot {\vec {n}}=0$

2) $v_{1}\cdot n_{1}+v_{2}\cdot n_{2}+v_{3}\cdot n_{3}=0$

Fall 1: $n_{1}=K$

aus 1) folgt:

3) $n_{2}=-{\frac {u_{1}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{2}}}$

$n_{2}$ in 2):

$v_{1}\cdot K-v_{2}\cdot {\frac {u_{1}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{2}}}+v_{3}\cdot n_{3}=0$

daraus folgt:

$K\cdot \left(v_{1}-v_{2}\cdot {\frac {u_{1}}{u_{2}}}\right)+n_{3}\cdot \left(v_{3}-v_{2}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{2}}}\right)=0$

$n_{3}=-K\cdot {\frac {v_{1}-v_{2}\cdot {\frac {u_{1}}{u_{2}}}}{v_{3}-v_{2}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{2}}}}}=K\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

$n_{3}$ in 3):

$n_{2}=-{\frac {u_{1}}{u_{2}}}\cdot K-{\frac {u_{3}}{u_{2}}}\cdot K\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{1}}{u_{2}}}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\right)-{\frac {u_{3}}{u_{2}}}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\right)}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}=K\cdot {\frac {-u_{1}\cdot v_{3}+{\frac {u_{1}}{u_{2}}}\cdot u_{3}\cdot v_{2}-{\frac {u_{3}}{u_{2}}}\cdot u_{1}\cdot v_{2}+u_{3}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

Zusammengefasst:

 $n_{1}=K$ 

 $n_{2}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$ 

 $n_{3}=K\cdot {\frac {u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}{u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}}$

Fall 2: $n_{2}=K$

aus 1) folgt:

3) $n_{1}=-{\frac {u_{2}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{1}}}$

$n_{1}$ in 2):

$-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}\cdot K+u_{3}\cdot n_{3}}{u_{1}}}+v_{2}\cdot K+v_{3}\cdot n_{3}=0$

daraus folgt:

$K\cdot \left(v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)+n_{3}\cdot \left(v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}\right)=0$

$n_{3}=-K\cdot {\frac {v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}{v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}}}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$

$n_{3}$ in 3):

$n_{1}=-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot K-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}\right)-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}\right)}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {-u_{2}\cdot v_{3}+{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot u_{3}\cdot v_{1}-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot u_{2}\cdot v_{1}+u_{3}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$

Zusammengefasst:

 $n_{1}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$ 

 $n_{2}=K$ 

 $n_{3}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{1}}}$

Fall 3: $n_{3}=K$

aus 1) folgt:

3) $n_{1}=-{\frac {u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot K}{u_{1}}}$

$n_{1}$ in 2):

$-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}\cdot n_{2}+u_{3}\cdot K}{u_{1}}}+v_{2}\cdot n_{2}+v_{3}\cdot K=0$

daraus folgt:

$K\cdot \left(v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}\right)+n_{2}\cdot \left(v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)=0$

$n_{2}=-K\cdot {\frac {v_{3}-v_{1}\cdot {\frac {u_{3}}{u_{1}}}}{v_{2}-v_{1}\cdot {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$

$n_{2}$ in 3):

$n_{1}=-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot K=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}\right)-{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot \left(u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\right)}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {-{\frac {u_{2}}{u_{1}}}\cdot u_{3}\cdot v_{1}+u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}+{\frac {u_{3}}{u_{1}}}\cdot u_{2}\cdot v_{1}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$

Zusammengefasst:

 $n_{1}=K\cdot {\frac {u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$ 

 $n_{2}=K\cdot {\frac {u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}}{u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}}}$ 

 $n_{3}=K$

Fall 4: $|{\vec {n}}|=K$

3) $|{\vec {n}}|^{2}=K^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}$

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-<strong>MediaWiki wurde installiert.</strong>
+==Bestimmung eines Normalvektors <math>\vec{n}</math>, der senkrecht zu den Spannvektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> ist==
-Hilfe zur Verwendung und Konfiguration der Wiki-Software findest du im [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Help:Contents Benutzerhandbuch].
+Es gelten die folgenden Bedingungen:
-== Starthilfen ==
+<math>\vec{u} \cdot \vec{n} = 0</math>
-* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Configuration_settings Liste der Konfigurationsparameter]
+) <math>u_1 \cdot n_1 + u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot n_3 = 0</math>
-* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ Häufige Fragen zu MediaWiki]
-* [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/mediawiki-announce.lists.wikimedia.org/ Mailingliste zu neuen Versionen von MediaWiki]
+<math>\vec{v} \cdot \vec{n} = 0</math>
-* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Localisation#Translation_resources Übersetze MediaWiki für deine Sprache]
-* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:Combating_spam Erfahre, wie du Spam auf deinem Wiki bekämpfen kannst]
+) <math>v_1 \cdot n_1 + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+=== Fall 1: <math>n_1 = K</math> ===
+aus 1) folgt:
+) <math>n_2 = - \frac{u_1 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_2}</math>
+<math>n_2</math> in 2):
+<math>v_1 \cdot K - v_2 \cdot \frac{ u_1 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_2} + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+daraus folgt:
+<math>K \cdot \left( v_1 - v_2 \cdot \frac{u_1}{u_2} \right) + n_3 \cdot \left( v_3 - v_2 \cdot \frac{u_3}{u_2} \right) = 0</math>
+<math>n_3 = - K \cdot \frac{v_1 - v_2 \cdot \frac{u_1}{u_2}}{v_3 - v_2 \cdot \frac{u_3}{u_2}} = K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
+<math>n_3</math> in 3):
+<math>n_2 = - \frac{u_1}{u_2} \cdot K - \frac{u_3}{u_2} \cdot K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{- \frac{u_1}{u_2} \cdot \left( u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 \right) - \frac{u_3}{u_2} \cdot \left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right)}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{ - u_1 \cdot v_3 + \frac{u_1}{u_2} \cdot u_3 \cdot v_2 - \frac{u_3}{u_2} \cdot u_1 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
+Zusammengefasst:
+ <math>n_1 = K</math>
+ <math>n_2 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
+ <math>n_3 = K \cdot \frac{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}{u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}</math>
+=== Fall 2: <math>n_2 = K</math> ===
+aus 1) folgt:
+) <math>n_1 = - \frac{u_2 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_1}</math>
+<math>n_1</math> in 2):
+<math>- v_1 \cdot \frac{u_2 \cdot K + u_3 \cdot n_3}{u_1} + v_2 \cdot K + v_3 \cdot n_3 = 0</math>
+daraus folgt:
+<math>K \cdot \left( v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1} \right) + n_3 \cdot \left( v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1} \right) = 0</math>
+<math>n_3 = - K \cdot \frac{v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1}}{v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1}} = K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
+<math>n_3</math> in 3):
+<math>n_1 = - \frac{u_2}{u_1} \cdot K - \frac{u_3}{u_1} \cdot K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{- \frac{u_2}{u_1} \cdot \left( u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1 \right) - \frac{u_3}{u_1} \cdot \left( u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2 \right)}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{- u_2 \cdot v_3 + \frac{u_2}{u_1} \cdot u_3 \cdot v_1 - \frac{u_3}{u_1} \cdot u_2 \cdot v_1 + u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
+Zusammengefasst:
+ <math>n_1 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
+ <math>n_2 = K</math>
+ <math>n_3 = K \cdot \frac{u_2 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1}</math>
+=== Fall 3: <math>n_3 = K</math> ===
+aus 1) folgt:
+) <math>n_1 = - \frac{u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot K}{u_1}</math>
+<math>n_1</math> in 2):
+<math>- v_1 \cdot \frac{u_2 \cdot n_2 + u_3 \cdot K}{u_1} + v_2 \cdot n_2 + v_3 \cdot K = 0</math>
+daraus folgt:
+<math>K \cdot \left( v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1} \right) + n_2 \cdot \left( v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1} \right) = 0</math>
+<math>n_2 = - K \cdot \frac{v_3 - v_1 \cdot \frac{u_3}{u_1}}{v_2 - v_1 \cdot \frac{u_2}{u_1}} = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
+<math>n_2</math> in 3):
+<math>n_1 = - \frac{u_2}{u_1} \cdot K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} - \frac{u_3}{u_1} \cdot K = K \cdot\frac{ - \frac{u_2}{u_1} \cdot \left( u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3 \right) - \frac{u_3}{u_1} \cdot \left( u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1 \right)}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} = K \cdot\frac{- \frac{u_2}{u_1} \cdot u_3 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2 + \frac{u_3}{u_1} \cdot u_2 \cdot v_1}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1} = K \cdot\frac{ u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
+Zusammengefasst:
+ <math>n_1 = K \cdot\frac{ u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
+ <math>n_2 = K \cdot \frac{u_3 \cdot v_1 - u_1 \cdot v_3}{u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1}</math>
+ <math>n_3 = K</math>
+=== Fall 4: <math>|\vec{n}| = K</math> ===
+) <math>|\vec{n}|^2 = K^2 = n_1^2 + n_2^2 + n_3^2</math>
+__NOTOC__

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Version vom 11. Mai 2023, 12:39 Uhr

Bestimmung eines Normalvektors n → {\displaystyle {\vec {n}}} , der senkrecht zu den Spannvektoren u → {\displaystyle {\vec {u}}} und v → {\displaystyle {\vec {v}}} ist

Fall 1: n 1 = K {\displaystyle n_{1}=K}

Fall 2: n 2 = K {\displaystyle n_{2}=K}

Fall 3: n 3 = K {\displaystyle n_{3}=K}

Fall 4: | n → | = K {\displaystyle |{\vec {n}}|=K}

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Bestimmung eines Normalvektors ${\vec {n}}$ , der senkrecht zu den Spannvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ ist

Fall 1: $n_{1}=K$

Fall 2: $n_{2}=K$

Fall 3: $n_{3}=K$

Fall 4: $|{\vec {n}}|=K$