Differentialgleichungen

Lineare inhomogene Dgl. 1. Ordnung

Allgemeine Form:

(1) ${\frac {dy}{dx}}+a\cdot y+b=0$

Dabei ist $y$ eine Funktion von $x$ ($y=f(x)$). Die Parameter $a$ und $b$ können auch Funktionen von $x$ sein, sind allerdings in einfachen Fällen konstant (unabhängig von $x$).

Die allgemeine Lösung (schließt den Fall $a,b=f(x)$ ein) lautet:

(2) $y=-e^{-\int {a\ dx}}\cdot \int {b\cdot e^{\int {a\ dx}}dx}$

Lineare inhomogene Dgl. 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Allgemeine Form:

(1) ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+a\cdot {\frac {dy}{dx}}+b\cdot y+c=0$

Es soll gelten: $a,b,c=konstant$.

Substituiert man a und b folgendermaßen:

(2) $a=-\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)$

(3) $b=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}$

erhält man:

(4) ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}+\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot y+c=0$

Umgestellt:

(5) $\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-\lambda _{1}\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)-\lambda _{2}\cdot \left({\frac {dy}{dx}}-\lambda _{1}\cdot y\right)+c=0$

Substituiert man nun:

(6) $u={\frac {dy}{dx}}-\lambda _{1}\cdot y$

(7) ${\frac {du}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-\lambda _{1}\cdot {\frac {dy}{dx}}$

erhält man aus Gl. (5) eine Differentialgleichung 1. Ordnung hinsichtlich $u$:

(8) ${\frac {du}{dx}}-\lambda _{2}\cdot u+c=0$

Die Lösung davon ist:

(9) $u=-e^{\lambda _{2}\cdot x}\cdot \int {c\cdot e^{-\lambda _{2}\cdot x}dx}=-c\cdot e^{\lambda _{2}\cdot x}\cdot \left(-{\frac {e^{-\lambda _{2}\cdot x}}{\lambda _{2}}}+C_{1}\right)={\frac {c}{\lambda _{2}}}+C_{2}\cdot e^{\lambda _{2}\cdot x}$

Mit Gl. (6) ergibt sich:

(10) $u={\frac {dy}{dx}}-\lambda _{1}\cdot y={\frac {c}{\lambda _{2}}}+C_{2}\cdot e^{\lambda _{2}\cdot x}$

Die Lösung für $y$ ist dann:

(11) $y=e^{\lambda _{1}\cdot x}\cdot \int {\left({\frac {c}{\lambda _{2}}}+C_{2}\cdot e^{\lambda _{2}\cdot x}\right)\cdot e^{-\lambda _{1}\cdot x}dx}$

(12) $y=e^{\lambda _{1}\cdot x}\cdot \left({\frac {c}{\lambda _{2}}}\cdot \int {e^{-\lambda _{1}\cdot x}dx}+C_{2}\cdot \int {e^{\left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)\cdot x}dx}\right)$

(13) $y=e^{\lambda _{1}\cdot x}\cdot \left(-{\frac {c}{\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}}}\cdot e^{-\lambda _{1}\cdot x}+{\frac {C_{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\cdot e^{\left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)\cdot x}+C_{3}\right)$

(14) $y=-{\frac {c}{\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}}}+{\frac {C_{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\cdot e^{\lambda _{2}\cdot x}+C_{3}\cdot e^{\lambda _{1}\cdot x}$

Die allgemeine Lösung ist unter Berücksichtigung von Gl. (3):

(15) $y=A\cdot e^{\lambda _{1}\cdot x}+B\cdot e^{\lambda _{2}\cdot x}-{\frac {c}{b}}$

Die Parameter $A$ und $B$ müssen aus den Randbedingungen bestimmt werden.

Aus Gln. (2) und (3) ergibt sich für $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2}$:

$\lambda _{1,2}^{2}+a\cdot \lambda _{1,2}+b=0$

bzw.:

$\lambda _{1,2}=-{\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-b}}$